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Funzioni di Green ed Equazioni differenziali (2002)

E' in generale possibile associare una funzione di Green ad ogni equazione differenziale inomogenea, spostando in questo modo il problema dalla soluzione di un'equazione differenziale a quello della risoluzione di un'equazione integrale.

Equazioni lineari omogenee

Una generica equazione differenziale lineare puo' essere scritta come:

(1)

dove L e' un'operatore differenziale lineare:

(2)

se f(x) = 0 allora l'equazione differenziale si dice omogenea altrimenti inomogenea. La soluzione generale di un'equazione omogenea di ordine n avente operatore della forma:

(3)

e':

(4)

Dove c_j sono le costanti d'integrazione e {y_j(x)} sono un set di soluzioni dell'equazione (3) lineramente indipendenti. Ci sono esattamente n soluzioni linearmente indipendenti all'equazione (3), nella regione in cui i coefficienti p_i(x) (i=0,1, ... , n) sono continui. Se il set delle funzioni W(x) sono lineramente indipendenti, allora la soluzione (4) e' chiamata soluzione generale, altrimenti no. Per questo motivo e' importante sapere se le soluzioni sono o meno lineramente indipendenti.

C'e' un semplice test per stabilire l'indipendenze lineare o meno delle soluzioni, il Wronskiano. Il Wronskiano W(x) e' definito come il determinante:

		(5)

W(x) quindi si azzera in x se e solo se le {y_j(x)} sono funzioni linearmenti dipendenti. Il Wronskiano di qualsiasi n-pla di soluzioni della (3) soddisfa questa semplice equazione differenziale del primo ordine:

(6)

e quindi:

(7)

Quindi abbiamo la possbilita' di calcolare i valori di W(x) prima che qualsiasi soluzione dell'equazione differenziale sia nota.

Problemi a valore iniziale

In un problema a valore iniziale vengono specificati i valori di y e delle prime n-1 derivate,y⁽¹⁾, ... , y^(n-1), in un punto dato x = x₀:

(8)

Per risolvere un problema di questo tipo si devono scegliere le c_j nell'equazione (4), in modo che le condizioni iniziali (8) siano soddisfatte. Questo comporta la soluzione di un set di n equazioni algebriche simultanee:

con

(i=0,1, ... , n-1)

(9)

Ma queste equazioni hanno una soluzione unica solo se:

(9)

in accordo con la regola di Cramer.

Equazioni lineari inomogenee

La soluzione generale dell'equazione inomogenea:

(9)

e' semplicemente data dalla somma di una soluzione particolare della (11) e della soluzione generale dell'equazione omogenea associata Ly(x) = 0. Quindi una volta determinata la soluzione generale dell'equazione omogenea associata e' necessario solo cercare una soluzione partcolare dell'equazione (11) ed il gioco e' fatto.
In particolare le funzioni di Green forniscono un metodo generale per il calcolo delle soluzioni.

Funzioni di Green

E' innanzi tutto necessario introdurre la funziona di Dirac, che in poche parole e' una funzione ovunque nulla tranne che in a dove la funzione assume valore infinito.
Piu' esattamente e' una funzione avente le seguenti caratteristiche:

(10)

(11)

Si puo' dunque facilmente dedurre che:

(12)

se f(x) e' funzione continua in a. Partendo dunque da questi presupposti possiamo definire la funzione di Green associata all'equazione inomogenea Lf = f(x) come la funzione G(x, a) che soddisfa l'equazione differenziale seguente:

(13)

E' dunque immediato rappresentare la soluzione all'equazione (9) come l'integrale:

(14)

E' infatti facile mostrare che la y(x) cosi' calcolata risolve l'equazione differenziale (9):





Appendice (Formula di Leibniz)





Nota anche come differenziazione sotto il segno d'integrale.